Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一點(diǎn)，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°。點(diǎn)P是線段BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（包括B、C兩點(diǎn)），設(shè)PB的長(zhǎng)是x。
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形。
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形。
（3）P在BC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否為菱形。

Answer 1

作AF垂直于BC于點(diǎn)F, DG垂直于BC于點(diǎn)G
∴DG＝2，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4
顯然，當(dāng)P點(diǎn)與F或點(diǎn)G重合時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形。
所以x=2或x=6
(2)∵AD=BE=4，且AD∥BE
∴當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，
即x=0時(shí)。點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
又∵當(dāng)點(diǎn)P在CE中點(diǎn)時(shí)，EP＝AD＝4，且EP∥AD，
∴x=8時(shí)，點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4  所以當(dāng)P與B重合時(shí)即x=0時(shí)或當(dāng)x=8時(shí)點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形

（1）如圖，分別過(guò)A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G，容易得到AF=DG，AD=FG，而CD=4，∠C=30°，由此可以求出CG=6，DG=AF=2，又∠B=60°，BF=2，若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPC=90°，那么P與F重合或P與G重合，根據(jù)前面求出的長(zhǎng)度即可求出此時(shí)的x的值；
（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，由于AD=BE=4，且AD∥BE，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，利用已知條件可以求出BP的長(zhǎng)度；②當(dāng)點(diǎn)P在CE中點(diǎn)時(shí)，利用已知條件也可求出BP的長(zhǎng)度；
（3）以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成菱形．由（1）（2）知，當(dāng)BP=0或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計(jì)算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．