Question

設N是正整數(shù)，如果存在大于1的正整數(shù)k，使得N=

k(k-1)

2

是k的正整數(shù)倍，則稱N為一個“千禧數(shù)”，試確定在1，2，3，…，2000中“千禧數(shù)”的個數(shù)為

 

并說明理由．

Answer 1

分析：若N是千禧數(shù)，則存在正整數(shù)m，使得N-

k(k-1)

2

=km，即2N=k（2m+k-1），顯然，k與2m+k-1的奇偶性不同，且k＞1，2m+k-1＞1．所以，2N有大于1的奇因子，從而N有大于1的奇因子．反過來，若N有大于1的奇因子，則可設2N=AB，其中A、B的奇偶性不同，且A＜B，則A＞1且N-

A(A-1)

2

=

AB

2

-

A(A-1)

2

=A•

B-A+1

2

．其中

B-A+1

2

為正整數(shù)．故N是千禧數(shù)．

解答：解：根據(jù)分析可得：只有當N有大于1的奇因子時，N是千禧數(shù)．
在1，2，…，2000中，只有1，2，2²，…，2¹⁰不是千禧數(shù)．
故有千禧數(shù)2000-11=1989（個）．
故答案為：1989．

點評：讀懂題意通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)千禧數(shù)的定義，根據(jù)推理找出不是千禧數(shù)的個數(shù)，從而得到千禧數(shù)的個數(shù)．