Question

已知點A（1，）在拋物線y=x²+bx+c上，點F（-，）在它的對稱軸上，點P為拋物線上一動點.

（1）求這條拋物線的函數解析式；

（2）判斷是否存在直線l，使得線段PF的長總是等于點P到直線l的距離，需說明理由.

（3）設直線PF與拋物線的另一交點為Q，探究：PF和QF這兩條線段的倒數和是否為定值？證明你的結論.

Answer 1

.⑴ 由=，a=，得b=             

         把b =和點A（1，）代入y=x²+bx+c，可求得c=.

         ∴這條拋物線的解析式是y=x²+x.     

⑵設點P（x₀，y₀），則y₀=x₀²+x₀.

作PM⊥AF于M，

得 PF²=PM²+MF²

      = (x₀+)²+ (y₀-)²

  又∵y₀=x₀²+x₀

=(x₀+)²-

  ∴(x₀+)²=3y₀+

  ∴PF²=3y₀++ y₀²- y₀+=( y₀+1)².

 易知y₀≥-，y₀+1＞0. ∴PF= y₀+1.      

又∵當直線l經過點（0，-1）且與x軸平行時，

y₀+1即為點P到直線l的距離.

∴存在符合題意的直線l.              

⑶ 是定值.

證明：當PF∥x軸時，PF=QF=，.   

  當PF與x軸不平行時，作QN⊥AF于N，

  ∵ △MFP∽△NFQ，∴.

 再依據第⑵小題的結果，可得. 

  整理上式，得 .