Question

已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P是射線CM上一點(diǎn)，連接AP，把△ACP繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，得△ABD，直線BD與射線CM交于點(diǎn)E，連接AE．
（1）如圖1，①求∠BEC的度數(shù)；②若AE=2BE，猜想線段CE、BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，若AE=mBE，求

CE

BE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）①由題意可得△ACP≌△ABD，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵∠BCP+∠ACP=∠ACB，∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°，∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°，代入即可得出∠BEC=60°；②在EC上截取EF=EB，連結(jié)BF，可先證△EAB≌△FBC（SAS），由CF=AE=2BE，從而求得CE=CF+EF=3BE；
（2）由②證明可知CF=AE，可得AE=CF=mBE，∴CE=CF+EF=（m+1）BE，據(jù)此可求出比值．

解答：解：
（1）①∵△ACP旋轉(zhuǎn)得到△ABD
∴△ACP≌△ABD
∴∠ACP=∠ABD
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ACP=∠ACB
∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°
∴∠BEC=60°
②CE=3BE
在EC上截取EF=EB，連結(jié)BF
∵∠BEC=60°，EF=EB
∴△BEF是等邊三角形
∴∠EBF=60°，EF=EB=BF
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC
∵∠EBF-∠ABF=∠EBA，∠ABC-∠ABF=∠FBC
在△EAB和△FBC中，

BA=BC ∠EBA=∠FBC BE=BF

∴△EAB≌△FBC（SAS）
∴CF=AE
∵AE=2BE
∴CF=2BE
∴CE=CF+EF=3BE
（2）由②證明可知CF=AE，
∵AE=mBE
∴CF=mBE
∴CE=CF+EF=（1-m）BE
∴

CE

BE

=1-m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵．