Question

對于二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成：
（1）當t=2時，求拋物線y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的頂點坐標．
（2）判斷點A是否在拋物線E上，并求出n的值．
（3）通過（2）演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，寫出定點坐標．
（4）二次函數(shù)y=-3x²+5x+2是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

解：（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2）；

（2）點A在拋物線E上，理由如下：
∵將x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴點A（2，0）在拋物線E上．
∵點B（-1，0）在拋物線E上，
∴將x=-1代入拋物線E的解析式中，得：n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．


（3）∵將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴拋物線E必過定點（2，0）、（-1，6）；

（4）不是．
∵將x=-1代入y=-3x²+5x+2，得y=-6≠6，
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2的圖象不經(jīng)過點B．
∴二次函數(shù)y=-3x²+5x+2不是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”．
分析：（1）將t的值代入“再生二次函數(shù)”中，通過配方可得到頂點的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證；根據(jù)點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值；
（3）將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數(shù)值產(chǎn)生影響），即可求出這個定點的坐標；
（4）將（3）中得到的兩個定點坐標代入二次函數(shù)y=-3x²+5x+2中進行驗證即可．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，該題通過新定義的形式考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點等知識，理解新名詞的含義尤為關(guān)鍵．