Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，∠A=60°，求證：a²=b（b+c）；
（2）如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．（1）中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意一個倍角△ABC，且∠A=2∠B，關(guān)系式a²=b（b+c）是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；
（3）在（2）中，若∠B=36°，b=1，直接填空：a=

 

，cos36°=

 

（若結(jié)果是無理數(shù)，請用無理數(shù)表示）．
（4）應(yīng)用（3）的結(jié)論，解答下面問題：如圖2，一廠房屋頂人字架是等腰△ABC，其跨度BC=10m，∠B=∠C=36°，中柱AD⊥BC于D，則上弦AB的長是

 

m．（可能用到的數(shù)：

5

≈2.24，

6

≈2.45，

7

≈2.65）

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用,勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)已知可求得各角的度數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)求得各邊的關(guān)系，從而不難得到結(jié)論．
（2）根據(jù)已知表示各角的度數(shù)，再根據(jù)正弦定理對式子進(jìn)行整理，從而得到結(jié)論；
（3）畫出圖形，根據(jù)a²=b（b+c），a=c，b=1，可求出a，繼而可得出cos36°的值．
（4）先求出BD，再由cos36°的值可得出AB．

解答：（1）證明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=

3

b
∴a²=3b²=b（b+c）．

（2）解：關(guān)系式a²=b（b+c）仍然成立．
證明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC），
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）
（3）如圖所示：

∵a²=b（b+c），a=c，b=1，
∴a=

5 +1

2

，
設(shè)AD=x，則BD=

5 +1

2

-x，
則AC²-AD²=BC²-BD²，即1-x²=（

5 +1

2

）²-（

5 +1

2

-x）²，
解得：x=

1

5 +1

，BD=

5 +1

2

-

1

5 +1

，
故cos36°=

BD

BC

=

1+ 5

4

；

（4）由題意得，BD=

1

2

BC=5m，
則AB=

BD

cos36°

=

20

1+ 5

=5（

5

-1）≈6.2米．

點評：本題考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的內(nèi)容，綜合考察的知識點較多，難度較大，解答本題需要同學(xué)們能活學(xué)活用．