Question

【題目】直角三角形中，，直線過(guò)點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，如圖①，分別過(guò)點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．

（2）當(dāng)，時(shí)，如圖②，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接、，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

①用含的代數(shù)式表示．

②直接寫出當(dāng)與全等時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①CN=6-3t；（2）3.5秒或5秒或6.5秒

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；

（2）①由題意得，AM=t，FN=3t，則CM=8-t，由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，即可得出結(jié)果；

②分點(diǎn)F沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)四種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理列式計(jì)算．

（1）證明：△ACD與△CBE全等．

理由如下：∵AD⊥直線l，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）解：①由題意得，AM=t，FN=3t，

則CM=8-t，

由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，

∴CN=6-3t；

②由折疊的性質(zhì)可知，∠BCE=∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，

∴∠NCE=∠CMD，

∴當(dāng)CM=CN時(shí)，△MDC與△CEN全等，

當(dāng)點(diǎn)F沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t=6-3t，

解得，t=-1（不合題意），

當(dāng)點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t═3t-6，

解得，t=3.5，

當(dāng)點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8-t=18-3t，

解得，t=5，

當(dāng)點(diǎn)F沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8-t=3t-18，

解得，t=6.5，

綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒或6.5秒時(shí)，△MDC與△CEN全等．