Question

如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在AB上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D在線段AO上以同樣的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間用t（單位：秒）表示．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACD與△ABO相似？并直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先容易求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分別表示AC，AD的長度，再根據(jù)相似的性質(zhì)可以列出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）依題意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴，
代入得：
 ，
解得：t=，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)也就是AO-AD=AO-t=4-=，
再把x=帶入一次函數(shù)解析式，得y=．
∴此時(shí)C（，）
若△ACD∽△AOB相似，
 ，
 ，
∴t=，
AC=5-t=，
再過C點(diǎn)做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
=，
即=，
解得AE=，
∴OE=AO-AE=4-=，
而且又∵=，即=．
解得CE=．所以C（，）
∴C（，）或（，）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí)，另外還考查了勾股定理的計(jì)算及相似三角形的性質(zhì)．題目難度適中．