已知:如圖,在直徑為10的⊙O中,作兩條互相垂直的直徑AE和BF,在弧EF上取點(diǎn)C,弦AC交BF于P,弦CB交AE于Q,求證:四邊形APQB的面積等于25.
分析:連接AF、FE、EB,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)D,連接DB、DQ、CE,由于AE、BF是⊙O的直徑,AE⊥BF,根據(jù)對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形得到四邊形ABEF是正方形,則S△ABF=
1
2
S正方形ABEF=
1
2
×
1
2
×10×10=25,根據(jù)圓周角定理得到∠DCQ=
1
2
∠AOB=45°,而∠DEQ=45°,則∠DCQ=∠DEQ,根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定方法得D、C、E、Q在同一個圓上;又AE是⊙O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACE=90°,再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DQE=180°-∠ACE=90°,則DQ⊥AE,易得FB∥DQ,
則S△PBQ=S△PBD,于是可得S四邊形APQB=S△APB+S△QPB=S△PAB+S△DPB=S△DAB=S△FAB=25.
解答:證明:連接AF、FE、EB,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)D,連接DB、DQ、CE,如圖,
∵AE、BF是⊙O的直徑,AE⊥BF,
∴四邊形ABEF是正方形,
∴S△ABF=
1
2
S正方形ABEF=
1
2
×
1
2
×10×10=25,
又∵∠DCQ=
1
2
∠AOB=45°,
而∠DEQ=45°,
∴∠DCQ=∠DEQ,
∴D、C、E、Q在同一個圓上,
∵AE是⊙O的直徑,
∴∠ACE=90°,
∴∠DQE=180°-∠ACE=90°,
∴DQ⊥AE,
而AE⊥BF,
∴FB∥DQ,
∴S△PBQ=S△PBD,
∴S四邊形APQB=S△APB+S△QPB=S△PAB+S△DPB=S△DAB=S△FAB=25.
點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題:在同圓或等圓中,一條弧所對的圓周角的度數(shù)是它所對的圓心角的度數(shù)的一半;直徑所對的圓周角為直角;掌握四點(diǎn)共圓的判定方法和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì);運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)以及同底等高的三角形的面積相等進(jìn)行幾何計算.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在半徑為4的⊙O中,AB、CD是兩條直徑,M為OB的中點(diǎn),CM的延長線交⊙O于點(diǎn)E,且EM>MC.連接DE,DE=
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(1)求EM的長;
(2)求sin∠EOB的值.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點(diǎn),CM的延長線交⊙O于點(diǎn)E,且EM>MC.
(1)求證:AM•MB=EM•MC;
(2)連接DE,DE=
15
,求EM的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M為OB的中點(diǎn),CM的延長線交⊙O于點(diǎn)E,且EM>MC.連接DE,DE=
15

(1)求證:AM•MB=EM•MC;
(2)求sin∠EOB的值;
(3)若P是直徑AB延長線上的點(diǎn),且BP=12,求證:直線PE是⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年北京市101中學(xué)九年級(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知:如圖,在直徑為10的⊙O中,作兩條互相垂直的直徑AE和BF,在弧EF上取點(diǎn)C,弦AC交BF于P,弦CB交AE于Q,求證:四邊形APQB的面積等于25.

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