Question

18．如圖，已知A、B兩村分別距公路l的距離AA′=10km，BB′=40km，且A′B′=50km．在公路l上建一中轉站P使AP+BP的值最小，則AP+BP的最小值為（　　）

• A． 100km
• B． 80km
• C． 60km
• D． 50$\sqrt{2}$km

Answer 1

分析 作A關于直線A′B′的對稱點C，連接BC，延長BB′，根據兩點之間線段最短可知AP+BP的最小值即為BC的長，過C作BB′的垂線交直線BB′于D，根據對稱的性質可求出A′C的長，由矩形的判定定理可判斷出四邊形A′CDB′是矩形，在Rt△BCD中由勾股定理即可求解．

解答 解：作A關于直線A′B′的對稱點C，連接BC，延長BB′，
∵兩點之間線段最短，
∴AP+BP的最小值即為BC的長，
過C作BB′的垂線交直線BB′于D，
∵A、C關于直線A′B′對稱，AA′=10km，
∴A′C=10km，
∵AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，
∴A′C∥B′D，
∵BB′⊥A′B′，CD⊥BB′，
∴A′B′∥CD，
∴四邊形A′CDB′是矩形，
∴A′B′=CD=50km，BD=BB′+B′D=40+10=50km，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}+5{0}^{2}}$=50$\sqrt{2}$km．
故選：D．

點評 本題考查的是最短路線問題、矩形的判定定理及勾股定理，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．