Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），交y軸于C（0，-2），過B、C畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，且PB=PC，求OP的長；
（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，過M向直線BC作垂線，垂足為H．若M在y軸左側(cè)，且△CHM∽△BOC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），
∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+2）（x-1），
將x=0，y=-2代入，得-2=a（0+2）（0-1），
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+2）（x-1），即y=x²+x-2；

（2）如圖1．由（1）知，拋物線的解析式為y=x²-x-2，則C（0，-2）．
設(shè)OP=x，則PB=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=

3

2

，即OP=

3

2

；

（3）∵△CHM∽△BOC，
∴∠MCH=∠CBO．
（i）如圖2，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時．
由（2）知，PB=PC，
∴∠PCB=∠CBP，即∠PCB=∠CBO．
又∵∠MCH=∠CBO，即∠MCB=∠CBO，
∴∠PCB=∠MCB，
∴點(diǎn)M是線段CP的延長線與拋物線的交點(diǎn)．
設(shè)直線CM的解析式為y=kx-2（k≠0），
把P（-

3

2

，0）代入，得-

3

2

k-2=0，
解得，k=-

4

3

，則直線CM的解析式是y=-

4

3

x-2，
∴

y=- 4 3 x-2 y=x2+x-2

，
解得，

x=0 y=-2

（舍去），或

x=- 7 3 y= 10 9

，
∴M（-

7

3

，

10

9

）；
（ii）如圖3，點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時．
∵∠MCH=∠CBO，
∴CM∥x軸，
∴y_M=-2，
∴x²+x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=-1
∴M（-1，-2）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（-

7

3

，

10

9

）或M（-1，-2）．