Question

【題目】已知直線a：y＝2x+4分別與x、y軸交于點(diǎn)A、C．將直線a豎直向下平移7個(gè)單位后得到直線b，直線b交直線AD：y＝x+2于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)Q為直線x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使△QDE的周長(zhǎng)最小，若存在，求△QDE周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)：

（2）已知點(diǎn)M是第一象限直線a上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線c⊥x軸，交直線b于點(diǎn)N，H為直線AD上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△MNH成為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）存在，Q（，0），∴△DEQ的周長(zhǎng)的最小值為5；（2）存在，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為（12，14）或（，）．

【解析】

（1）如圖1中，存在．首先確定點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接ED′交x軸于Q，連接DQ，此時(shí)△DEQ的周長(zhǎng)最小．

（2）如圖2中，存在．當(dāng)點(diǎn)N與E（5，7）重合時(shí)，作MH∥x軸交直線y＝x+2于H，此時(shí)△MNH是等腰直角三角形，取EH的中點(diǎn)H′，連接MH′，此時(shí)△MNH′也是等腰直角三角形.

解：（1）存在．

理由：∵直線y＝2x+4分別與x、y軸交于點(diǎn)A、C，

令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），C（0，4），

∵直線y＝2x+4豎直向下平移7個(gè)單位后得到直線b，

∴直線b的解析式為y＝2x﹣3，

∵直線y＝x+2交x軸于A，交y軸于D，

令x＝0，得到y＝2，

∴D（0，2），

由，解得，

∴E（5，7），

如圖1中，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接ED′交x軸于Q，連接DQ，此時(shí)△DEQ的周長(zhǎng)最�。�

∵D′（0，﹣2），E（5，7），

∴直線DE的解析式為y＝x﹣2，

∴Q（，0），

，，

∴△DEQ的周長(zhǎng)的最小值＝DE+DQ+EQ＝DE+QD′+QE＝DE+ED′＝5；

（2）如圖2中，存在．

理由：當(dāng)點(diǎn)N與E（5，7）重合時(shí)，作MH∥x軸交直線y＝x+2于H，此時(shí)△MNH是等腰直角三角形，取EH的中點(diǎn)H′，連接MH′，此時(shí)△MNH′也是等腰直角三角形，

∵M（5，14），MH∥x軸，

∴H（12，14），

∵E（5，7），EH′＝HH′，

∴H′（，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為（12，14）或（，）．