Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知條件求證；
（2）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得；
（3）①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．
②∠DEF=90°時(shí)，由（2）知EF∥AD，則得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．
③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在．

解答：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF．
（2）解：能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵AB=BC•tan30°=5

3

×

3

3

=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD為菱形，則需AE=AD，
即t=10-2t，t=

10

3

．
即當(dāng)t=

10

3

時(shí)，四邊形AEFD為菱形．
（3）解：①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．
即10-2t=2t，t=

5

2

．
②∠DEF=90°時(shí)，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=

1

2

t，t=4．
③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在．
綜上所述，當(dāng)t=

5

2

秒或4秒時(shí)，△DEF為直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，考查了菱形是平行四邊形，考查了菱形的判定定理，以及菱形與矩形之間的聯(lián)系．難度適宜，計(jì)算繁瑣．