Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)為D的坐標(biāo)；
（2）求△CDB的面積；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3
又y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是：D（2，-1）

（2）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線CD：y=-2x+3
當(dāng)y=0時(shí)，-2x+3=0，
解得x=1.5，
∴直線CD與x軸交于點(diǎn)（1.5，0）
S_△CDB=×（3-1.5）×3+×（3-1.5）×1=×6=3

（3）存在點(diǎn)P（2，2）或（2，-），使以點(diǎn)A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
理由如下：設(shè)對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，則AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD==，且∠ADE=45°，
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC===3，且∠ABC=45°，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，y），
∵△ADP與△ABC相似，
∴①當(dāng)AD與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，
即=，
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-1）
②當(dāng)AD與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，
即=，
解得DP=，
y-（-1）=，
解得y=-，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）或（2，-）．．
分析：（1）把點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解，把解析式整理成頂點(diǎn)式即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)x軸把△CDB分成兩個(gè)三角形，列式求解即可；
（3）先求出邊AD，BC、AB的長(zhǎng)度，根據(jù)數(shù)據(jù)可得∠B與∠D都是45°角，然后分AD與AB是對(duì)應(yīng)邊與AD與BC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出DP的長(zhǎng)度，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)便可求出．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，（3）中注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不明確，要分情況討論求解，避免漏解而導(dǎo)致出錯(cuò)．