Question

（1）探索：請(qǐng)你利用圖1驗(yàn)證勾股定理．
（2）應(yīng)用：如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S₁、S₂，則S₁+S₂的值等于

9

2

π

．（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果）
（3）拓展：如圖3所示，MN表示一條鐵路，A、B是兩個(gè)城市，它們到鐵路所在直線MN的垂直距離分別為AC=40千米，BD=60千米，且CD=80千米，現(xiàn)要在CD之間設(shè)一個(gè)中轉(zhuǎn)站O，求出O應(yīng)建在離C點(diǎn)多少千米處，才能使它到A、B兩個(gè)城市的距離相等．

Answer 1

分析：（1）此直角梯形的面積由三部分組成，利用直角梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和列出方程并整理即可；
（2）根據(jù)半圓面積公式以及勾股定理，知S₁+S₂等于以斜邊為直徑的半圓面積；
（3）設(shè)CO=xkm，則OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分別表示出AO和BO的長(zhǎng)，根據(jù)AO=BO列出方程，求解即可．

解答：解：（1）∵

1

2

（a+b）（a+b）=2×

1

2

ab+

1

2

c²，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c²，
∴a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；

（2）∵S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，
∴S₁+S₂=

1

8

π（AC²+BC²）=

1

8

πAB²=

9

2

π；

（3）設(shè)CO=xkm，則OD=（80-x）km．
∵O到A、B兩個(gè)城市的距離相等，
∴AO=BO，即AO²=BO²，
由勾股定理，得40²+x²=60²+（80-x）²，
解得：x=52.5．
即O應(yīng)建在離C點(diǎn)52.5千米處．
故答案為

9

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了（1）勾股定理的證明．此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．
（2）根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理證明：以直角三角形的兩條直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積，重在驗(yàn)證勾股定理．
（3）勾股定理的應(yīng)用，運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來(lái)，兩邊相等求解即可．