Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．且A（-1，0），點M（m，0）是x軸上的一個動點，當(dāng)MC+MD的值最小時，m的值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,二次函數(shù)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：首先可求得二次函數(shù)的頂點坐標，再求得C關(guān)于x軸的對稱點C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點的橫坐標即是m的值，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．

解答：解：∵點A（-1，0）在拋物線y=

1

2

x²+bx-2上，
∴

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
∴b=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴頂點D的坐標為（

3

2

，-

25

8

），
作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2
連接C′D交x軸于點M，
根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最�。� 
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點E．
∵ED∥y軸，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴

OM

EM

=

OC′

ED

，
即

m

3 2 -m

=

2

25 8

，
∴m=

24

41

．
故答案為：

24

41

．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出函數(shù)表達式，作出輔助線，找對相似三角形．