Question

如圖，過A、C兩點的拋物線y=x²+bx+c上有一點M，已知A（-1，0），C（0，-2），
（1）這個拋物線的解析式為

y=x²-x-2

；
（2）作⊙M與直線AC相切，切點為C，則M點的坐標為

（1.5，-1.25）

．

Answer 1

分析：（1）由題意根據(jù)待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由題意根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，再根據(jù)切線的性質根據(jù)待定系數(shù)法得到經過M，切點為C的直線解析式，設M（a，a²-a-2），得到關于a的方程，即可求解．

解答：解：（1）將A（-1，0），C（0，-2）的坐標代入y=x²+bx+c得

1-b+c=0 c=-2

，
解得

b=-1 c=-2

．
故此拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+m，將A（-1，0），C（0，-2）的坐標代入得

-k+m=0 m=-2

，
解得

k=-2 m=-2

．
故直線AC的解析式為y=-2x-2，
∵⊙M與直線AC相切，
∴與直線AC垂直的直徑所在的直線為y=

1

2

x+n，
∵切點為C，
∴n=-2，
∴與直線AC垂直的直徑所在的直線為y=

1

2

x-2，
設M（a，a²-a-2），
則

1

2

a-2=a²-a-2，
解得a₁=0（舍去），a₂=1.5，
∴M（1.5，-1.25）．
故答案為：y=x²-x-2，（1.5，-1.25）．

點評：本題考查了拋物線解析式、直線的解析式的求法，切線的性質，互相垂直的兩條直線的關系，綜合性較強，有一定的難度．