Question

如圖，在正方形ABCD中，點F在CD上．

（1）若E是BC的中點，∠BAE=∠EAF，求證：AF=BC+FC；
（2）若E是BC上任意一點，∠BAE+∠DAF=∠EAF，試探究BE、EF、DF之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過E點作EG⊥AF，垂足為G，根據(jù)題干條件首先證明△ABE≌△AGE，即可得AG=AB，同理證明出CF=GF，于是結(jié)論可以證明，
（2）首先證明AB=AH，無法直接證明三角形ABE和AHE全等，那么可構(gòu)建全等三角形來求解．將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)90°，AD和AB重合，從而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定不難求得結(jié)論；要求EF，BE，DF的關(guān)系，可以通過全等將BE，DF轉(zhuǎn)化為EH，HF來求解．
解答：（1）證明：過E點作EG⊥AF，垂足為G，
∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，
又∠BAE=∠EAF，即AE為角平分線，EB⊥AB，EG⊥AG，
∴BE=EG，又AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AB，
同理可知CF=GF，
∴AF=BC+FC．

（2）解：EF=BE+DF．理由如下：
如果將正方形ABCD以A為頂點，以AD為邊順時針旋轉(zhuǎn)90°與AB重合．
設(shè)旋轉(zhuǎn)后的正方形為AD₁C₁B₁那么B與D₁重合．且E₁，B，E三點共線．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠E₁AF=90°，AF=AE₁
∴∠E₁AE=90°-45=45°=∠EAF．
三角形AE₁E和AEF中，
∵AF=AE₁，∠E₁AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AE₁E≌△AFE（SAS），
∵AH，AB為兩三角形對應(yīng)邊EF，E₁E上的高，
∴AH=AB，
在直角三角形AHF和AFD中，
∵AH=AB，AF=AF，
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴HF=DF．
又知BE=EH．
∴EF=EH+HF=BE+DF．
點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)還有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，此題難度不大．