Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線ED，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，EA的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)C，DC=DE．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若sin∠ACD=

5

5

，⊙O的半徑為

5

，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OC，若要證明DC是⊙O的切線，則可轉(zhuǎn)化為證明∠DCO=90°即可；
（2）設(shè)AD=k，則AE=

5

k，ED=2k，利用勾股定理計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，
∵DE=DC，
∴∠4=∠E，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，
∴DC是⊙O的切線；
（2）∵∠4=∠E，
∴sin∠E=

5

5

，
設(shè)AD=k，則AE=

5

k，ED=2k，
∴DC=2k，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
∴(

5

+k)2=(2k)2+

5

2，
∴k=0(舍)，k=

2 5

3

，
∴AE=

5

k=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．