Question

（2013•上海模擬）將矩形ABCD折疊，使得對角線的兩個端點A、C重合，折痕所在直線交直線AB于點E，如果AB=4，BE=1，那么∠CAB的余切值是

2

或

6

3

．

Answer 1

分析：本題是一道比較常見的折疊問題，需要注意題目中的“直線AB”與“折痕所在的直線”，顯然，滿足題意的情況有兩種：①點E在線段AB上，如圖1；②點E在線段AB的延長線上，如圖2．因此需要分類討論．

解答：解：①如圖1，當(dāng)點E在線段AB上時，過點P作PH⊥AB于點H．易得AH=BE=1，則HE=AB-2BE=2．
設(shè)BC=PH=x，易證△ABC∽△PHE，則

4

x

=

x

2

，解得x=2

2

，此時，cot∠CAB=

2

；

②如圖2，當(dāng)點E在線段AB的延長線上時．過點P作PH⊥BC于點H．
易得PH=AB=4，
易得

BQ

QH

=

BE

PH

=

1

4

，BQ=CH=

1

4

QH．
設(shè)BC=t，則QH=

2

3

t．
易證△ABC∽△QHP，則

4

t

=

2 3 t

4

，解得t=2

6

，此時cot∠CAB=

6

3

．
綜上所述，∠CAB的余切值是

2

或

6

3

．
故答案是：

2

或

6

3

．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊問題以及矩形的性質(zhì)．解題時，一定要分類討論，以防漏解．