Question

在△ABC中，∠ACB=90°，是AB上一點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，若∠AMD=∠BMD，求證：∠CDA=2∠ACD．

Answer 1

證明：過(guò)A作CD的平行線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，連AP，交BM的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，連接NC，
∵CM=MD，
∴PN=NA，
∵∠PCA=90°，
∴CN=PN=NA．
∴∠ACM=∠CAN=∠NCA，
∴∠NCM=2∠ACM （1），
∵∠MAN=∠AMD=∠BMD=∠MNA，
∴MA=MN，
∵M(jìn)D=MC，MA=MN，
∠AMD=∠BMD=∠NMC，
∴△MAD≌△MNC，
∴∠MDA=∠MCN （2），
由（1）與（2）得∠CDA=2∠ACD．
分析：過(guò)A作CD的平行線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，連AP，交BM的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，連接NC，先求證∠NCM=2∠ACM（1），利用△MAD≌△MNC，得出∠MDA=∠MCN（2），由（1）與（2）得∠CDA=2∠ACD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是：過(guò)A作CD的平行線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，連AP，交BM的延長(zhǎng)線(xiàn)于N．