Question

如圖，正方形ABCD的邊長是10cm，點E，F(xiàn)，G，H分別從點A，B，C，D出發(fā)，以2cm/s的速度同時向點B，C，D，A運動．
（1）在運動的過程中，四邊形EFGH是何種四邊形？并說明理由．
（2）運動多少秒后，四邊形EFGH的面積是52cm²？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出運動時間，表示出AE，BF，CG，DH的長度，可知AE=BF=CG=DH，由題意即可推出BE=CF=DG=AH，可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，即可推出四邊形EFGH是菱形，通過求∠HEF=90°即可推出結(jié)論，（2）設(shè)運動時間為x，依據(jù)勾股定理推出，EH²=AE²+AH²=8x²-40x+100，由S_{四邊形EFGH}=EH²=52，列出方程8x²-40x+100=52，解方程即可推出x的值，x的值需符合2x≤10．
解答：（1）四邊形EFGH是正方形．
解：設(shè)運動時間為t，
∴AE=BF=CG=DH=2t，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=BC=CD=DA=10cm，
∴BE=CF=DG=AH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH=EF=FG=HG，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形，

（2）設(shè)運動時間為xs，
∵點E，F(xiàn)，G，H的運動速度為2cm/s，
∴AE=BF=CG=DH=2x，
∵AB=BC=CD=DA=10cm，BE=CF=DG=AH，
∴BE=CF=DG=AH=10-x，
由勾股定理可得：EH²=AE²+AH²=（2x）²+（10-2x）²=8x²-40x+100，
∵S_{四邊形EFGH}=EH²，
∴當(dāng)S=52cm²時，
8x²-40x+100=52，
∴x²-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，
∵當(dāng)x₁=2時，2t=2×2=4cm＜10cm，
當(dāng) x₂=3時，2t=2×3=6cm＜10cm，
∴x=2或x=3，
答：運動2秒或3秒后，四邊形EFGH的面積是52cm²．
點評：本題主要考查正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于：（1）求證菱形EFGH的一個內(nèi)角等于90°，（2）熟練運用勾股定理，用含x的表達式表示出EH²．