Question

（2013•鞍山一模）在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB邊上一點(diǎn)，且AO=AE，過(guò)點(diǎn)E作直線HF交DC于點(diǎn)H，交BA的延長(zhǎng)線于F，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱(chēng)軸，△FEO經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到△F′EO，直線EF′交直線DC于點(diǎn)M．
（1）求證：AD∥OF′；
（2）若M點(diǎn)在點(diǎn)H右側(cè)，OA=4，求DH•DM的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰△AEO的性質(zhì)得到：∠1=∠2；由對(duì)稱(chēng)變換得到∠2=∠3，則內(nèi)錯(cuò)角∠1=∠3．故AD∥OF′；
（2）根據(jù)“兩角法”證得△EDH∽△MDE，則該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即

DH

DE

=

DE

DM

，所以DH•DM=DE²=4²=16．

解答：（1）證明：如圖，∵AO=AE，
∴∠1=∠2．
又∵以O(shè)E所在直線為對(duì)稱(chēng)軸，△FEO經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到△F′EO，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OF′；

（2）解：如圖，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AO=AE，OA=4，
∴DE=AE=OA=4．
∵在?ABCD中，DC∥AB，
∴∠5=∠F．
∵由（1）知，AD∥OF′，
∴∠DEM=∠4．
又∵∠4=∠F，
∴∠5=∠DEM，
又∵∠EDH=∠MDE，
∴△EDH∽△MDE，
∴

DH

DE

=

DE

DM

，即DH•DM=DE²=4²=16．
∴DH•DM的值是16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．此題難度較大，在證明三角形相似時(shí)，一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．