Question

如圖1所示，已知：在矩形ABCD中，AB=6，點(diǎn)P在AD邊上．
（1）如果∠BPC=90°，求證：△ABP∽△DPC；
（2）在問(wèn)題（1）中，當(dāng)AD=13時(shí)，求tan∠PBC；
（3）如圖2所示，原題目中的條件不變，且AP=3，DP=9，M是線段BP上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交PC于點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M，N作ME⊥BC于點(diǎn)E，NF⊥BC于點(diǎn)F，并且矩形MEFN和矩形ABCD的長(zhǎng)與寬之比相等，求MN．

Answer 1

分析：（1）若∠BPC=90°，則∠BPA和∠PCD同為∠DPC的余角，故∠BPA=∠PCD，而∠A、∠D都是直角，由此可證得：△ABP∽△DPC．
（2）由于AD∥BC，則∠PBC=∠APB，那么只需求出∠APB的正切值即可，關(guān)鍵是求AP的長(zhǎng)；可設(shè)AP為x，用x可表示出DP的長(zhǎng)，根據(jù)（1）所得相似三角形的比例線段，即可求得x即AP的值，進(jìn)而可得到∠APB的正切值，由此得解．
（3）易得AB、AD的長(zhǎng)，即可得到矩形的長(zhǎng)和寬的比例關(guān)系，若設(shè)ME=x，則MN=2ME=2x，可過(guò)P作BC的垂線，設(shè)垂足為H，交MN于G；那么PG=6-x，易證得△PMN∽△PBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得x的值，進(jìn)而可求出MN的長(zhǎng)．（當(dāng)ME=2MN時(shí)，方法同上）．

解答：（1）證明：∵∠BPC=90°，∠D=90°，
∴∠BPA+∠DPC=∠PCD+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PCD；
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPC．

（2）解：設(shè)AP=x，則PD=AD-AP=13-x；
由（1）知：△ABP∽△DPC，得：

AP

CD

=

AB

DP

，即

x

6

=

6

13-x

，化簡(jiǎn)得：
x²-13x+36=0，解得x=4，x=9；
在Rt△APB中，當(dāng)AP=4時(shí)，tan∠APB=

AB

AP

=

3

2

；
當(dāng)AP=9時(shí)，tan∠APB=

AB

AP

=

6

9

=

2

3

；
由于AD∥BC，則∠APB=∠PBC，
故∠PBC的正切值為

2

3

或

3

2

．

（3）解：過(guò)P作PH⊥BC于H，交MN于G，則PG⊥MN；
由題意知：AB=6，AD=AP+PD=12，即AD=2AB；
①當(dāng)MN=2ME時(shí)，設(shè)ME=x，則MN=2x，PG=6-x；
由于MN∥BC，則△PMN∽△PBC，得：

PG

PH

=

MN

BC

，即

6-x

6

=

2x

12

；
解得：x=3，故MN=2x=6；
②當(dāng)ME=2MN時(shí)，設(shè)MN=m，則ME=2m，PG=6-2m，同①可得：

PG

PH

=

MN

BC

，即

6-2m

6

=

m

12

；
解得：m=2.4，即MN=2.4；
綜上所述，MN的值為6或2.4．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)；本題難度雖然不大，但關(guān)鍵在于（2）（3）題都要把各種情況考慮到，以免漏解．