Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=3，點D是AB上一動點，連接CD．若CD=

3

，則∠ACD=

15°或75

°．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，過C作CE垂直于AB，垂足為E點，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)點D在E的左邊時，由AC=BC，CE為高，根據(jù)三線合一得到E為AB的中點，再利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出CE=AE=BE，由AB的長求出CE的長，同時得到三角形ACE及三角形BCE都為等腰直角三角形，可得出∠ACE為45°，在直角三角形CED中，由CD及CE的長，利用勾股定理求出DE的長，可得出DE為CD的一半，根據(jù)直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，可得到此直角邊所對的角為30°，得到∠ECD為30°，利用∠ACE-∠ECD可求出∠ACD的度數(shù)；（ii）當(dāng)點D在點E的右邊時，同理由∠ACE+∠ECD可求出∠ACD的度數(shù)，綜上，得到所有滿足題意的∠ACD的度數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

過C作CE⊥AB，垂足為點E，
分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)點D在點E的左邊時，
∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥AB，
∴E為AB的中點，又AB=3，
∴CE=AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，
∴△ACE和△BCE都為等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
在Rt△CDE中，CD=

3

，CE=

3

2

，
由勾股定理得：DE=

CD2-CE2

=

3

2

，
∴DE=

1

2

CD，
∴∠ECD=30°，
則∠ACD=∠ACE-∠ECD=45°-30°=15°；
（ii）當(dāng)點D在點E的右邊時，
同理可得∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+30°=75°，
綜上，∠ACD=15°或75°．
故答案為：15°或75．

點評：此題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，借助圖形來解決問題，同時本題有兩解，注意不要漏解．