Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點A（2，-3），與x軸交于點B，且與直線y=3x-

8

3

平行．
（1）求：直線l的函數(shù)解析式及點B的坐標(biāo)；
（2）如直線l上有一點M（a，-6），過點M作x軸的垂線，交直線y=3x-

8

3

于點N，在線段MN上求一點P，使△PAB是直角三角形，請求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，因為直線l與直線y=3x-

8

3

平行，所以k=3，又直線l經(jīng)過點A（2，-3），從而求出b的值，進而直線l的函數(shù)解析式及點B的坐標(biāo)可求出；
（2）點M（a，-6）在直線l上，所以可先求出a的值，再分別分：當(dāng)AB為斜邊時；當(dāng)PB為斜邊時；當(dāng)PA為斜邊時，進行討論求出滿足題意的P點的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l平行于y=3x-

8

3

，
∴k=3，
∵直線l經(jīng)過點A（2，-3），
∴-3=2×3+b，b=-9，
∴直線l的解析式為y=3x-9，點B坐標(biāo)為（3，0）；

（2）∵點M（a，-6）在直線l上，
∴a=1，則可設(shè)點P（1，y），
∵N(1，

1

3

)，∴y的取值范圍是-6≤y≤

1

3

，
當(dāng)AB為斜邊時，PA²+PB²=AB²，即1+（y+3）²+4+y²=10，
解得y₁=-1，y₂=-2，∴P（1，-1），P（1，-2），
當(dāng)PB為斜邊時，PA²+AB²=PB²，即1+（y+3）²+10=4+y²，
解得y=-

8

3

，∴P(1，-

8

3

)，
當(dāng)PA為斜邊時，PB²+AB²=PA²，即10+4+y²=1+（y+3）²，
解得y=

2

3

，（舍去），
∴綜上所述，點P的坐標(biāo)為P₁（1，-1），P₂（1，-2），P₃(1，-

8

3

)

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)與幾何圖形（直角三角形）問題首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，從已知函數(shù)圖中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題．