Question

如圖，直線l：y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點(diǎn)，C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段AC、AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．
（1）點(diǎn)A坐標(biāo)是______，點(diǎn)B的坐標(biāo)______，BC=______．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△APQ≌△CBP，說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得MQ+MB的值最小？如果存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x+6
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-8，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，6），
∵C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴C的坐標(biāo)是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC==10，

（2）當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，0）時(shí)，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BP，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，0）時(shí)，△APQ≌△CBP．

（3）B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，-6），
把點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為代入直線l可得y=×（）+6=，
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），
設(shè)直線B′Q的解析式為y=kx+b，則
，
解得，
故直線B′Q的解析式為y=3x-6，
把y=0代入y=3x-6可得0=3x-6，解得x=2，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，0）．
故答案為：（-8，0），（0，6），10．
分析：（1）把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出AP=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
（3）先找到B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)，把點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為代入直線l可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得直線B′Q的解析式，把y=0代入該函數(shù)的解析式，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，軸對(duì)稱最短路線，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．