Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²-x+a與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)在直線y=-2x上．
（1）求A，B的坐標(biāo)；
（2）以AC，CB為一組鄰邊作?ACBD，則點(diǎn)D關(guān)于軸的對稱點(diǎn)D′是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先配方得到y(tǒng)=

1

2

x²-x+a=

1

2

（x-1）²+a-

1

2

，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a-

1

2

），然后代入y=-2x求得a=-

3

2

，則拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，然后令y=0，得

1

2

x²-x-

3

2

=0，解方程得x₁=-1，x₂=3，即可得到A，B的坐標(biāo)；
（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-

3

2

），由四邊形ACBD為平行四邊形，則BD看做是AC平移得到，而C點(diǎn)（0，-

3

2

）向上平移

3

2

個單位，向右平移3個單位得到B點(diǎn)（3，0），
于是把A點(diǎn)（-1，0）向上平移

3

2

個單位，向右平移3個單位得到D點(diǎn)（2，

3

2

），則點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（2，-

3

2

），然后把D′的坐標(biāo)為（2，-

3

2

）代入拋物線的解析式即可判斷點(diǎn)D關(guān)于軸的對稱點(diǎn)D′是否在該拋物線上．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x²-x+a=

1

2

（x-1）²+a-

1

2

，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a-

1

2

），
∵頂點(diǎn)在直線y=-2x上，
∴a-

1

2

=-2×1，
∴a=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，則

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）點(diǎn)D′在該拋物線上．理由如下：
如圖，令x=0，y=-

3

2

，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

3

2

），
∵四邊形ACBD為平行四邊形，
∴BD看做是AC平移得到，
而C點(diǎn)（0，-

3

2

）向上平移

3

2

個單位，向右平移3個單位得到B點(diǎn)（3，0），
∴把A點(diǎn)（-1，0）向上平移

3

2

個單位，向右平移3個單位得到D點(diǎn)（2，

3

2

），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（2，-

3

2

），
當(dāng)x=2，y=

1

2

x²-x-

3

2

=

1

2

×4-2-

3

2

=-

3

2

，
∴點(diǎn)D′在該拋物線上．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)式為y=a（x-

b

2a

）2+

4ac-b2

4a

；通過坐標(biāo)平移變換的規(guī)律確定平行四邊形第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于x軸對稱的坐標(biāo)特點(diǎn)；點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式．