Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是關(guān)于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：由Rt△ABC中，∠C=90°，可得sin²A+sin²B=1，又由sinA、sinB是關(guān)于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：sinA+sinB=，sinA•sinB=，繼而求得m的值．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=，sinB=，
∴sin²A+sin²B===1，
∵sinA、sinB是關(guān)于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的兩個(gè)實(shí)根，
即sinA、sinB是關(guān)于x的一元二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴sinA+sinB=，sinA•sinB=，
∴sin²A+sin²B=（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=（）²-2×=1，
即m²-18m-40=0，
解得：m=20或m=-2．
當(dāng)m=20時(shí)，可得：△=25＞0，符合題意；
當(dāng)m=-2時(shí)，可得：△=-7＜0，不符合題意，舍去．
∴實(shí)數(shù)m的值為20．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及三角函數(shù)的定義等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-，x₁x₂=知識(shí)的應(yīng)用．