Question

如圖，在銳角△ABC中，AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

分析：從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)系確定線段和的最小值．

解答：解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE．
∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME與△AMN中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC，
又AB=4

2

，∠BAC=45°，此時(shí)，△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值為4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用．易錯(cuò)易混點(diǎn)：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒(méi)有辦法把兩個(gè)線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤．
規(guī)律與趨勢(shì)：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對(duì)于最值的求解是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．