Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直線AD于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)E與D恰好重合時(shí)，求AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)（E不與A、D重合），設(shè)AD=x，ED=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（3）問(wèn)：是否可能使△ABE、△CDE與△BCE都相似？若能，請(qǐng)求出此時(shí)AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，證得△ABD∽△BDC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AD的長(zhǎng)；
（2）首先作BH⊥DC，利用同角的余角相等，即可求得∠HBC=∠ABE，又由∠BHC=∠A=90°，即可得到△ABE∽△HBC，則可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別從使△ABE、△CDE與△BCE都相似與△ABE、△CDE與△BCE都相似分析，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求得AD的長(zhǎng)．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，
得△ABD∽△BDC，則，
∴，
則．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DC交DC于點(diǎn)H，
則∠ABE+∠EBH=90°，∠EBH+∠HBC=90°，
∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=90°，
∴△ABE∽△HBC，
又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=CD-DH=6-3=3，
∴，即，
解得，定義域?yàn)椋▁＞3）．

（3）假設(shè)能使△ABE、△CDE與△BCE都相似，
①當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，（如圖）
易知∠EBC=∠A=∠D=90°，
考慮∠1的對(duì)應(yīng)角，容易得到∠1≠∠ABE，∠1≠∠DCE，
所以必有∠1=∠2=∠3=60°，
于是在△ABE、△CDE中，易得，，
∴，
此時(shí)，，，BC=6，
即能使△ABE、△CDE與△BCE都相似．
②當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∴∠EBC=∠A=∠D=90°，
∵∠1≠∠ABE，∠1≠∠DEC，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴AE==3，DE=CD•tan30°=2，
∴AD=AE-DE=，
此時(shí)BE=6，CE=4，BC=2，
同樣能使△ABE、△CDE與△BCE都相似．
∴AD=3或．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時(shí)要注意分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．