Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)在第一象限交于A點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)B在雙曲線上．
（1）求雙曲線的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為8，試判斷△OAB形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)橫坐標(biāo)x=4代入y=

1

2

x中，得A點(diǎn)縱坐標(biāo)y=2，可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），再將A（4，2）代入y=

k

x

求k即可；
（2）點(diǎn)B在雙曲線y=

8

x

上，將y=8代入得x=1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分別求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理證明△OAB是直角三角形．

解答：解：（1）將x=4代入y=

1

2

x，得y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
將A（4，2）代入y=

k

x

，得k=8，
∴y=

8

x

；

（2）△OAB是直角三角形．
理由：y=8代入y=

8

x

中，得x=1，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8），
又A（4，2），O（0，0），
由兩點(diǎn)間距離公式得OA=2

5

，AB=3

5

，OB=

65

，
∵OA²+AB²=20+45=65=OB²，
∴△OAB是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，反比例函數(shù)關(guān)系式的求法，直角三角形的判定．關(guān)鍵是利用交點(diǎn)坐標(biāo)將問題過渡．