Question

如圖，直線y=

1

2

x+1交y軸于點A，過該直線上一點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）拋物線y=ax²+

17

4

x+c過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在x軸上是否存在一點D，使AD+BD最短？若存在，請求出點D坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）點P（t，0）為線段OC上任一點（不與點O、C重合），過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N．
①求MN的最大值；
②連接CM、BN，試求：當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN為菱形？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先令x=0求出y的值即可得出A點坐標(biāo)，再把C點橫坐標(biāo)代入直線y=

1

2

x+1求出y的值即可得出B點坐標(biāo)，把AB兩點坐標(biāo)代入拋物線即可得出a、c的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）作出點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長即為AD+BD最短，再利用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，故可得出D點坐標(biāo)；
（3）①先用含t的代數(shù)式表示P、M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)MN=NP-MP，即可得到線段MN的長與t的函數(shù)關(guān)系式為MN，然后運用配方法可求出MN的最大值；
②若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，故可得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程求得t的值，再分別分析t取何值時四邊形BCMN為菱形即可．

解答：解：（1）∵令x=0，則y=1，
∴A（0，1），
∵BC⊥x軸，C（3，0），
∴當(dāng)x=3時，y=

1

2

×3+1=

5

2

，
∴B（3，

5

2

），
∵AB兩點均在拋物線y=ax²+

17

4

x+c上，
∴

c=1 9a+ 51 4 +1= 5 2

，解得

a=- 5 4 c=1

，
∴拋物線的解析式為：y=-

5

4

x²+

17

4

x+1；

（2）作出點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長即為AD+BD最短，
∵A（0，1），B（3，

5

2

），
∴A′（0，-1），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

b=-1 3k+b= 5 2

，解得

k= 7 6 b=-1

，
∴直線A′B的解析式y(tǒng)=

7

6

x-1；
∴當(dāng)y=0時，

7

6

x-1=0，解得x=

6

7

，
∴D（

6

7

，0）；

（3）①∵P（t，0），
∴M（t，

1

2

t+1），N（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
∴MN=NP-MP=（-

5

4

t²+

17

4

t+1）-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t，即線段MN的長與t的函數(shù)關(guān)系式為MN=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；
∵-

5

4

t²+

15

4

t=

15

4

（t²-3t）=-

5

4

（t-

3

2

）²+

45

16

，
∴當(dāng)t=

3

2

時，MN的長最大，最大值是

45

16

；
②∵若四邊形BCMN為平行四邊形，
∴MN=BC，即-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，解得t₁=1，t₂=2，
∴當(dāng)t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形；
當(dāng)t=1時，MN=-

5

4

×1²+

15

4

×1=

5

2

，MP=

1

2

×1+1=

3

2

，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

，
∴MN=MC，此時平行四邊形BCMN為菱形；
當(dāng)t=2時，MN=-

5

4

×2²+

15

4

×2=

5

2

，MP=

1

2

×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

22+12

=

5

∴MN≠MC，此時平行四邊形BCMN不是菱形．
∴當(dāng)t=1時，四邊形BCMN為菱形．

點評：本題考查了的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．