Question

如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）證明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)k=4時(shí)，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，S有最大值？并求出S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵AB=BC，∴∠A=∠C。

∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A。

∴∠CPE=∠C。∴△PCE是等腰三角形。

（2）∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k。

∴EM=CM•tanC=•k=。

同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣。

由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，EM+FN=+4k﹣=4k，

∴EM+FN=BH。

（3）當(dāng)k=4時(shí)，EM=2x，F(xiàn)N=16﹣2x，BH=16，

∴S_△PCE=x•2x=x²，S_△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）²，S_△ABC=×8×16=64。

∴。

∴當(dāng)k=4時(shí)，四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為。

∵，

∴當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值32。

【解析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠C，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證。

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長(zhǎng)，再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH。

（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據(jù)S_△PCE，S_△APF，S_△ABC，再根據(jù)，整理即可得到S與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答。