Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABO的頂點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，12），點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），拋物線y=x²沿O→B→A方向進(jìn)行平移，平移后的拋物線頂點(diǎn)為P．
（1）求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，拋物線與AB的另一交點(diǎn)為M，求線段BM（即PM）的長；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，拋物線與OA的另一交點(diǎn)為N，求以PN為直徑的⊙I與y軸相切時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB是y=kx+b，
∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是（0，12）、（6，0），
，
解得：b=12，k=-2，
∴直線AB的解析式是y=-2x+12；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)是（6，0），
∴拋物線的解析式是y=（x-6）²，即y=x²-12x+36，
∵點(diǎn)M是拋物線與直線AB的交點(diǎn)，
由x²-12x+36=-2x+12，
解得x₁=4，x₂=6（與點(diǎn)P重合），
當(dāng)x₁=4時(shí)，y=4，
∴M的坐標(biāo)是（4，4），
作ME⊥OB于E，得ME=4，BE=6-4=2，
在Rt△MEB中，根據(jù)勾股定理得：BM==2；

（3）當(dāng)拋物線沿BA方向平移時(shí)，
∵拋物線的頂點(diǎn)P在直線AB上，
N是拋物線與直線AB的交點(diǎn)，
根據(jù)平移的性質(zhì)得PN=BM=2，
已知PN是⊙I的直徑，I是PN的中點(diǎn)，
當(dāng)⊙I與y軸相切時(shí)，IC=PI=，
過點(diǎn)I、P分別作y軸的垂線，垂足分別是C、D，
∴===sin∠OAB==，
∴AI=IC=5，PI=AI+IP=5+，
∴PD===+1，
∵點(diǎn)P在直線y=-2x+12上，當(dāng)x=+1時(shí)，
∴y=-2（+1）+12=10-2，
∴當(dāng)⊙I與y軸相切時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（+1，10-2）．
分析：（1）首先設(shè)直線AB是y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，由拋物線的頂點(diǎn)是（6，0），可得拋物線的解析式是y=（x-6）²，由點(diǎn)M是拋物線與直線AB的交點(diǎn)，得方程x²-12x+36=-2x+12，然后解方程即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，作ME⊥OB于E，在Rt△MEB中，根據(jù)勾股定理即可求得線段BM（即PM）的長；
（3）當(dāng)拋物線沿BA方向平移時(shí)，由拋物線的頂點(diǎn)P在直線AB上，N是拋物線與直線AB的交點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)得PN=BM=2，又由PN是⊙I的直徑，I是PN的中點(diǎn)，可得當(dāng)⊙I與y軸相切時(shí)，IC=PI，過點(diǎn)I、P分別作y軸的垂線，垂足分別是C、D，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得以PN為直徑的⊙I與y軸相切時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)以及勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．