Question

已知關(guān)于x的方程k x²+（k+2）x+

k

4

=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）若|x₁+x₂|=x₁•x₂+

1

4

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到k≠0且△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，然后解兩個不等式求出它們的公共部分即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，再分類討論：當(dāng)x₁+x₂=x₁•x₂+

1

4

；當(dāng)-（x₁+x₂）=x₁•x₂+

1

4

，然后得到關(guān)于k的方，解方程，再利用（1）的條件確定k的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k≠0且△=（k+2）²-4k•

k

4

＞0，
解得k＞-1且k≠0；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
當(dāng)x₁+x₂=x₁•x₂+

1

4

，則-

k+2

k

=

1

4

+

1

4

，解得k=-

4

3

；
當(dāng)-（x₁+x₂）=x₁•x₂+

1

4

，則

k+2

k

=

1

4

+

1

4

，解得k=-4，
∵k＞-1且k≠0；
∴k的值不存在．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．