Question

【背景】小明和小亮研究一道習(xí)題：“已知m＞n＞0，若分式

n

m

的分子、分母都加上1，所得的分式

n+1

m+1

的值增大了還是減小了？”．
小明想到了“用

n

m

減去

n+1

m+1

判斷差的正負(fù)性”的思路；
小亮的想法是“可以直接將兩個(gè)分式化成分母相同，再比較分子的大小”．
兩人的解題思路都正確．
【問(wèn)題】
（1）小亮提出問(wèn)題：已知m＞n＞1，分式

n

m

的分子、分母都減去1后所得的分式

n-1

m-1

的值增大了還是減小了？請(qǐng)你探索解答這個(gè)問(wèn)題．
（2）小明進(jìn)一步提出問(wèn)題：已知m＞n＞a，分式

n

m

的分子、分母都減去a后，所得分式

n-a

m-a

的值增大了還是減小了？請(qǐng)你探索解答這個(gè)問(wèn)題．

Answer 1

分析：（1）先把

n

m

-

n-1

m-1

進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)m＞n＞1進(jìn)行判斷即可；
（2）先把

n

m

-

n-a

m-a

進(jìn)行化簡(jiǎn)，再分m＞n＞a＞0，0＞m＞n＞a，a＜n＜0＜m，a＜0＜n＜m四種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）

n

m

-

n-1

m-1

=

n(m-1)-m(n-1)

m(m-1)

=

m-n

m(m-1)

，
∵m＞n＞1，
∴m-n＞0，m（m-1）＞0，
∴

m-n

m(m-1)

＞0，即

n

m

＞

n-1

m-1

，
∴分式

n

m

的分子、分母都減去1后所得的分式

n-1

m-1

的值減小了；


（2）

n

m

-

n-a

m-a

=

n(m-a)-m(n-a)

m(m-a)

=

(m-n)a

m(m-a)

，
∵m＞n＞a，
∴當(dāng)m＞n＞a＞0時(shí)，（m-n）a＞0，m（m-a）＞0，
∴

n

m

＞

n-a

m-a

；
當(dāng)0＞m＞n＞a時(shí)，（m-n）a＜0，m（m-a）＜0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＞0，
∴

n

m

＞

n-a

m-a

；
當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，a＜n＜0，
∴（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＜0，即

n

m

＜

n-a

m-a

；
當(dāng)m＞n＞0，a＜0時(shí)，（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＜0，即

n

m

＜

n-a

m-a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的加減法，在解答（2）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．