Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E．若點C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)陰影部分面積S最小時，則點E的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)梯形的性質(zhì)，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點C的坐標(biāo)為（2，2），則A點的縱坐標(biāo)為2，E點的橫坐標(biāo)為2，B點坐標(biāo)為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y=

k

x

可得到A點的坐標(biāo)為（

k

2

，2），E點的坐標(biāo)為（2，

k

2

），然后計算S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE，配方得

1

8

（k-2）²+

3

2

，當(dāng)k=2時，S_陰影部分最小值為

3

2

，則E點的坐標(biāo)為（2，1），即E點為BC的中點．

解答：解：∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，
而點C的坐標(biāo)為（2，2），
∴A點的縱坐標(biāo)為2，E點的橫坐標(biāo)為2，B點坐標(biāo)為（2，0），
把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

，
∴A點的坐標(biāo)為（

k

2

，2），E點的坐標(biāo)為（2，

k

2

），
∴S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

．
當(dāng)k-2=0，即k=2時，S_陰影部分最小，最小值為

3

2

；
∴E點的坐標(biāo)為（2，1），即E點為BC的中點，
∴當(dāng)點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最��；
故答案為：（2，1）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題以及二次函數(shù)最值問題等知識，根據(jù)已知表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．