Question

如圖1、四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=8，將矩形OABC沿直線AC折疊，使點B落在D處，AD交OC于E，
（1）求OE的長；
（2）求過O、D、C三點拋物線的解析式；
（3）如圖2過D做矩形DFGH，F(xiàn)G在x軸上，H在（2）中的拋物線上，求矩形DFGH的面積S是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知四邊形OABC是矩形，證明△CDE≌△AOE推出OE²+OA²=（AD-DE）²求出OE．
（2）本題要借助輔助線的幫助，證明∴△DGE∽△CDE，根據(jù)線段比求出DG，EG以及點D的坐標，列出解析式求出a，b的值．
（3）根據(jù)C點坐標得出拋物線的對稱軸，再利用D點坐標得出H點坐標，進而得出DH，DF的長即可得出答案．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
在△CDE和△AOE中，

∠DEC=∠OEA ∠EDC=∠EOA DC=OA

，
∴△CDE≌△AOE（AAS）．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）由（1）得出：EC=8-3=5．
如圖1，過D作DG⊥EC于G，
∵∠DGE=∠CDE，∠DEG=∠CED，
∴△DGE∽△CDE．
∴

DE

EC

=

DG

CD

，
∴DG=

12

5

，EG=

9

5

．
∴D（

24

5

，

12

5

）．
因為O點為坐標原點，
故可設過O，C，D三點拋物線的解析式為y=ax²+bx．
∴

64a+8b=0 ( 24 5 )2a+ 24 5 b= 12 5

，
解之，得

a=- 5 32 b= 5 4

，
∴拋物線的解析式為：y=-

5

32

x²+

5

4

x；

（3）∵C點坐標為：（8，0），
∴對稱軸為：直線x=4，
∵D（

24

5

，

12

5

），
∴H點與D點關于直線x=4對稱，
∴H點坐標為；（

16

5

，

12

5

），
∴HD=

24

5

-

16

5

=

8

5

，
∴矩形DFGH的面積S為：DF×DH=

12

5

×

8

5

=

96

25

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及翻折變換的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出D點坐標是解題關鍵．