Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC為邊分別在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中點分別是P、Q、M、N．
（1）若連接BG、CE，求證：BG=CE．
（2）試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：正方形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，求出∠GAB=∠EAC，證出△BAG≌△EAC即可；
（2）根據(jù)三角形中位線求出MN=PQ，MN=PN，MN∥PQ，得出菱形，求出∠PNM=90°即可．

解答：（1）證明：連接BG和CE交于O，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠EAB=∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG=∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB=∠EAC，
在△BAG和△EAC中，

AB=AE ∠BAG=∠EAC AG=AC

，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG=CE．

（2）四邊形PQMN為正方形，
證明：∵EB、BC、CG、GE的中點分別是P、Q、M、N，
∴PN∥BG，MN=

1

2

CE，MN∥CE，PQ=

1

2

CE，PQ∥CE，PN=

1

2

BG，
∵BG=CE，
∴PN=MN，MN=PQ，MN∥PQ，
∴四邊形PQMN是菱形，
∵△BAG≌△EAC，
∴∠GBA=∠AEC，
∵四邊形ABDE是正方形，
∴∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠BWA=90°，
∵∠BWA=∠GWE，
∴∠GWE+∠AEC=90°，
∴∠EOW=180°-90°=90°，
∵MN∥CE，PN∥BG，
∴∠NZO=∠EOW=90°，∠NIO=90°，
∴∠MNP=360°-90°-90°-90°=90°
∴菱形PQMN是正方形，
即四邊形PQMN為正方形．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．