Question

如圖，已知⊙O的圓心O在射線PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從P點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)A沿PN方向移動(dòng)，點(diǎn)B以4cm/s的速度沿PM方向移動(dòng)，且直線AB始終垂直PN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求下列問題．（結(jié)果保留根號(hào)）

（1）求PQ的長

（2）當(dāng)t為何值時(shí)直線AB與⊙o相切？

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）連接OQ，由PN切⊙O于Q，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OQ⊥PN，又由PO=20cm，∠P=30°，即可求得PQ的長；

（2）作OE⊥BA于E，由BA⊥PN，即可得四邊形AHOQ是矩形，當(dāng)矩形AEOQ是正方形時(shí)，直線BA與⊙O相切．即可求得PB與BA的長，然后分別從當(dāng)PQ﹣PA=OQ時(shí)，直線BA第一次與⊙O相切與當(dāng)PA﹣PQ=OQ時(shí)，直線BA第二次與⊙O相切去分析求解，即可求得答案．

試題解析：（1）解：連結(jié)OQ，如圖1

∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，∴OQ⊥PN，∵∠P=30°，OP=20，∴OQ=10，在Rt△OPQ中，

；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，BP=4t，則AB=，AP=，

①如圖2，當(dāng)AB與⊙O切于點(diǎn)E時(shí)，連結(jié)OE，

∴OE⊥AB，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四邊形AEOQ是矩形，

∴OE=AQ=10，∴，∴，

②如圖3，當(dāng)A′B′與⊙O相切于點(diǎn)F時(shí)，連結(jié)OF，

∴OF⊥A′B′，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四邊形A′FOQ是矩形，∴OF=A′Q，∴，

∴，∴當(dāng)t為秒或秒時(shí)，直線AB與⊙O相切．

考點(diǎn)：1．切線的性質(zhì)；2．勾股定理；3．垂徑定理．