Question

如圖，P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形P₃，P₄，…，P_n，…記紙板P_n的面積為S_n，試計算求出S₂=

3

8

π

；S₃=

11

32

π

；并猜想得到S_n-S_n-1（n≥2）．

Answer 1

分析：由P₁是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P₁的左下端剪去一個半徑為

1

2

的半圓后得到圖形P₂，得到S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²．同理可得S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，它們的差即可得到．

解答：解：S₂=

1

2

π-

1

2

π×

1

2

=

3

8

π，
S₃=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²=

11

32

π；
S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，
S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π[（

1

2

）^n-1]²，
∴S_n-S_n-1=

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²=（

1

2

）^2n-1π．
故答案為：

3

8

π，

11

32

π．

點評：本題考查了圓的面積公式：S=πR²，及規(guī)律性題目的解題一般方法：從特殊到一般，找出規(guī)律是解答的基礎(chǔ)．