Question

如圖，在矩形ABCD中，M、N分別AD、BC的中點，P、Q分別BM、DN的中點．

（1）求證：四邊形MPNQ是菱形；

（2）若AB＝2，BC＝4，求四邊形MPNQ的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC．

連結(jié)MN，∵M、N分別AD、BC的中點，

∴MD＝AD，BN＝BC．

∴MD＝BN，MD∥BN，∴四邊形BNDM是平行四邊形．

∴MB＝ND．…………………………1分

∵P、Q分別BM、DN的中點，∴MP＝MB，NQ＝DN．

∴MP＝NQ．

又∵MP∥NQ，∴四邊形MPNQ是平行四邊形．…………………………2分

∵ABCD為矩形，M、N分別AD、BC的中點，

∴四邊形ABNM為矩形，∴MN⊥BC．

∴在Rt△MNB中，PN＝BM．∴PN＝PM．………………3分

∴四邊形MPNQ是菱形．…………………………4分

（2）∵AB＝2，BC＝4，∴MN＝BN＝2

∵P為MB的中點，∴PN⊥MB，PN

在Rt△MNB中，MB＝…………………5分

∴，∴四邊形MPNQ是邊長為的正方形．

∴四邊形MPNQ的面積為……………………………7分