Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為

5

．設(shè)⊙M與y軸交于D．
（1）求m、a、b的值；
（2）若動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒2個單位長的速度運動，過點P作y軸的平行線交拋物線于Q．當點P運動幾秒時，線段PQ的值最大，并求此時P點坐標；
（3）在（2）條件下，當線段PQ的值最大時，四邊形ACQB面積是否也最大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過拋物線的解析式，首先能確定的是OC的長，已知⊙M的半徑長，過M作y軸的垂線，通過構(gòu)建的直角三角形能確定點M的縱坐標；同理，過M作x軸的垂線后可求出點B的坐標，而A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱（根據(jù)圓和拋物線的對稱性，點M正好在拋物線對稱軸上），在確定點A的坐標后，利用待定系數(shù)法即可求出a、b的值．
（2）首先求出直線BC的解析式，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式，先表示出點P、Q的坐標，兩點縱坐標的差即為線段PQ的長，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
（3）四邊形ACQB中，可分作兩部分對待：△ABC、△BCQ，前者的面積是定值，若四邊形的面積最大，那么△BCQ的面積最大，而這個面積可由PQ×OB（點B、C橫坐標差的絕對值）的一半，OB是定值，顯然PQ最大時，四邊形的面積也是最大的．

解答：解：（1）作MN⊥CD于N，MH⊥AB于H，分別連接MC、MB．
∵⊙M的半徑為

5

，x_M=1，
∴CN=2，ON=1，BH=2，OB=3；
得m=-1．
∵圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，
∴OA=1，A（-1，0）、B（3，0）；
代入y=ax²+bx-3得：

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

．
所以m=-1，a=1，b=-2．

（2）設(shè)點P運動的時間為t秒，則CP=2t；
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴x_P=

2

t；
易知，直線BC的解析式為 y=x-3
∴點P（

2

t，

2

t-3）．
∵PQ∥y軸，
∴Q（

2

t，2t²-2

2

t-3）．
PQ=

2

t-3-（2t²-2

2

t-3）=-2t²+3

2

t=-2（t-

3 2

4

）²+

9

4

．
當點P運動

3 2

4

秒，線段PQ的值最大；
故此時點P的坐標為（

3

2

，-

3

2

）．

（3）當線段PQ的值最大是，四邊形ACQB的面積最大．理由：
S_{四邊形ACQB}=S_△ABC+S_△CQB，
其中，S_△ABC=

1

2

AB×OC=

1

2

×4×3=6，為定值；
而S_△CQB=

1

2

×|x_B-x_C|×PQ=

1

2

×3×PQ=

3

2

PQ
當線段PQ的值最大時，△CQB的面積最大，即四邊形ABCQ的面積最大．

點評：此題主要考查的是：函數(shù)解析式的確定、圓的對稱性、勾股定理的應(yīng)用以及圖形面積的解法等重點知識；在解答類似最后一題的面積問題時，合理利用圖形間面積的和差關(guān)系是常用的方法．