Question

（2012•常州）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點）．連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖），設(shè)CP=x，DE=y．
（1）寫出y與x之間的關(guān)系式（　�。�；
（2）若點E與點A重合，則x的值為（　�。�；
（3）是否存在點P，使得點D關(guān)于直線PE的對稱點D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由PE與PM垂直，利用平角的定義得到一對角互余，再由矩形的內(nèi)角為直角，得到三角形DPE為直角三角形，可得出此直角三角形中一對銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形PCM與三角形DPE相似，由相似得比例，將各自的值代入，即可列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當E與A重合時，DE=DA=2，將y=2代入第一問得出的y與x的關(guān)系式中，即可求出x的值；
（3）存在，理由為：如圖所示，過P作PH垂直于AB，由對稱的性質(zhì)得到：PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，根據(jù)勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，將各自表示出的式子代入，可列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的x的值．

解答：解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4-x，
又M為BC中點，BC=2，∴CM=1，
∴

x

y

=

1

4-x

，
則y=-x²+4x；

（2）當E與A重合時，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴

x

2

=

1

4-x

，即x²-4x+2=0，
解得：x=2+

2

或x=2-

2

，
則x的值為2+

2

或2-

2

；

（3）存在，過P作PH⊥AB于點H，

∵點D關(guān)于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，
根據(jù)勾股定理得：D′H=

(4-x)2-22

=

x2-8x+12

，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴

ED′

D′P

=

EA

D′H

，即

-x2+4x

4-x

=

x(4-x)

4-x

=x=

x2-4x+2

x2-8x+12

，
整理得：2x²-4x+1=0，
解得：x=

2± 2

2

，
當x=

2± 2

2

時，點D關(guān)于直線PE的對稱點D′落在邊AB上．
故答案為：（1）y=-x²+4x；（2）2+

2

或2-

2

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及一元二次方程的應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．