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1.如圖,在△ABC中,D是BC邊的中點(diǎn),DE⊥BC交AB于點(diǎn)E,AD=AC,EC交AD于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABC∽△FCD;
(2)求證:FC=3EF.

分析 (1)由AD=AC,利用等邊對等角得到一對角相等,再由已知角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似即可得證;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CDBC=FDAC,由D是BC邊的中點(diǎn),得到BC=2CD,于是得到AD=AC=2FD,由于∠ACD=∠ADC,∠B=∠FCD,推出∠EAD=∠ACE,得到△EAF∽△ECA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EAEC=EFEA=AFAC=12,即可得到結(jié)論.

解答 (1)證明:∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACB,
∵∠B=∠ECB,
∴△ABC∽△FCD;
(2)∵△ABC∽△FCD,
CDBC=FDAC,
∵D是BC邊的中點(diǎn),
∴BC=2CD,
∴AD=AC=2FD,
∵∠ACD=∠ADC,∠B=∠FCD,
∴∠EAD=∠ACE,
∴△EAF∽△ECA,
EAEC=EFEA=AFAC=12,
∴EC=2EA=4EF,
∴FC=3EF.

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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