Question

（1999•海淀區(qū)）已知關于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整數根，且關于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0（2）有兩個實數根y₁和y₂
（1）當k為整數時，確定k的值；
（2）在（1）的條件下，若m＞-2，用關于m的代數式表示y₁²+y₂²．

Answer 1

【答案】分析：（1）要分兩種情況討論：
①k=0時，（1）方程為一元一次方程，可計算出此時方程的根是否為整數，若是，則k=0符合要求；
②k≠0時，（1）方程為一元二次方程，用因式分解法求出該方程的兩個根，再根據這個方程只有整數根的特點，求出k的整數值，再根據的判別式將不合題意的k值舍去．
（2）將（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根據根的判別式判斷出m的范圍，然后用根與系數的關系表示出所求的代數式的值．
解答：解：（1）當k=0時，方程（1）化為-x-1=0，x=-1，方程有整數根（1分）
當k≠0時，方程（1）可化為（x+1）（kx+k-1）=0
解得x₁=-1，x₂==-1+；
∵方程（1）的根是整數，所以k為整數的倒數．
∵k是整數
∴k=±1
此時△=（2k-1）²-4k（k-1）=1＞0（3分）
但當k=1時，（k-1）y²-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；（14分）

（2）當k=0時，方程（2）化為-y²-3y+m=0
∵方程（2）有兩個實數根
∴△=9+4m≥0，即m≥-，又m＞-2
∴當m＞-2時，y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=9+2m；（6分）
當k=-1時，方程（2）化為-2y²-3y+m=0，方程有兩個實數根
∴△=9+8m≥0，即m≥-
∵m＞-2，
∴當-2＜m＜-時，方程（2）無實數根
當m≥-時，有y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=+m．（7分）
點評：本題考查了根與系數的關系以及根的判別式；需注意的是（1）題不要忽略了（1）方程為一元一次方程的情況．