Question

有兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長(zhǎng)均為6）如圖1所示疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足0＜α°＜90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩塊三角板的重疊部分（如圖2）．
（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，①BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？②四邊形CHGK的面積是否發(fā)生變化？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
（2）如圖3，連接KH，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一位置使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

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？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)KC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形的形狀和大小不變，可以得到角的度數(shù)沒(méi)有變化，進(jìn)一步可以得到∠BGH=∠CGK，得證△BGH≌△CGK，則全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的性質(zhì)得到：全等三角形的面積相等，則四邊形CHGK的面積等于△BGC的面積，所以四邊形CHGK的面積不變；
（2）根據(jù)面積公式得出S_△GHK=S_{四邊形CKGH}-S_△CKH=

1

2

x²-3x+9，根據(jù)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

5

18

，代入得出方程

1

2

x2-3x+9=

5

18

×

1

2

×6×6，求出即可．

解答：解：（1）①在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH=CK．理由如下：
如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，G（O）為其斜邊中點(diǎn)，
∴CG=BG，CG⊥AB，且S_△BCG=

1

2

S_△ABC．
如圖2，連接CG．
∵∠ACG=∠B=45°，∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠BGH=∠CGK．
∵在△BGH和△CGK中，

∠B=∠ACG=45° BG=CG ∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA）．
∴BH=CK；
②在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形CHGK的面積不變．理由如下：
由①知，△BGH≌△CGK．則S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△BCG=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×6×6=9．
即：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH=CK，S_{四邊形CHGK}的面積為9，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中沒(méi)有變化；

（2）假設(shè)存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

5

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的位置．
如圖3，設(shè)BH=x，由題意及（1）中結(jié)論可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
∴S_△CHK=

1

2

CH×CK=3x-

1

2

x²，
∴S_△GHK=S_{四邊形CKGH}-S_△CKH=9-（3x-

1

2

x²）=

1

2

x²-3x+9，
∵△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

5

18

，
∴

1

2

x²-3x+9=

5

18

×

1

2

×6×6，
解得x₁=2，x₂=4（經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意）．            
∴存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

5

8

的位置，此時(shí)x的值為2或4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，此題有一定的難度，但是一道比較好的題目