如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側),與y軸交于點C,且當x=O和x=4時,y的值相等.直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點,其中一點的橫坐標是3,另一點是這條拋物線的頂點M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)P為線段OM上一點,過點P作PQ⊥x軸于點Q.若點P在線段OM上運動(點P不與點O重合,但可以與點M重合),設OQ的長為t,四邊形PQCO的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍;
(3)隨著點P的運動,四邊形PQCO的面積S有最大值嗎?如果S有最大值,請求出S的最精英家教網(wǎng)大值,并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀;如果S沒有最大值,請簡要說明理由;
(4)隨著點P的運動,是否存在t的某個值,能滿足PO=OC?如果存在,請求出t的值.
分析:(1)x=O和x=4時,y的值相等,即可得到函數(shù)的對稱軸是x=2,把x=2和x=3分別代入直線y=4x-16就可以求出拋物線上的兩個點的坐標,并且其中一點是頂點,利用待定系數(shù)法,設出函數(shù)的頂點式一般形式,就可以求出函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法可以求出直線OM的解析式,設OQ的長為t,即P,Q的橫坐標是t,把x=t代入直線OM的解析式,就可以求出P點的縱坐標,得到PQ的長,四邊形PQCO的面積S=S△COQ+S△OPQ,很據(jù)三角形的面積公式就可以得到函數(shù)解析式;
(3)從圖象可看出,隨著點P由O→M運動,△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大,即S不斷變大,顯當然點P運動到點M時,S最值;
(4)在直角△OPQ中,根據(jù)勾股定理就可以求出點P的坐標.
解答:解:(1)∵當x=0和x=4時,y的值相等,
∴c=16a+4b+c,(1分)精英家教網(wǎng)
∴b=-4a,
∴x=-
b
2a
=-
-4a
2a
=2
將x=3代入y=4x-16,得y=-4,
將x=2代入y=4x-16,得y=-8.(2分)
∴設拋物線的解析式為y=a(x-2)2-8
將點(3,-4)代入,得-4=a(x-2)2-8,
解得a=4.
∴拋物線y=4(x-2)2-8,即y=4x2-16x+8.(3分)

(2)設直線OM的解析式為y=kx,將點M(2,-8)代入,得k=-4,
∴y=-4x.(4分)
則點P(t,-4t),PQ=4t,而OC=8,OQ=t.
S=S△COQ+S△OPQ=
1
2
×8×t+
1
2
×t×4t=2t2+4t(5分)
t的取值范圍為:0<t≤2(6分)

(3)隨著點P的運動,四邊形PQCO的面積S有最大值.
從圖象可看出,隨著點P由O→M運動,△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大,
即S不斷變大,顯然當點P運動到點M時,S值最大(7分)
此時t=2時,點Q在線段AB的中點上(8分)
因而S=
1
2
×2×8+
1
2
×2×8=16.
當t=2時,OC=MQ=8,OC∥MQ,
∴四邊形PQCO是平行四邊形.(9分)

(4)隨著點P的運動,存在t=
8
17
17
,能滿足PO=OC(10分)
設點P(t,-4t),PQ=4T,OQ=t.
由勾股定理,得OP2=(4t)2+t2=17t2
∵PO=OC,
∴17t2=82,t1=
8
17
17
<2,t2=-
8
17
17
(不合題意)
∴當t=
8
17
17
時,PO=OC.(11分)
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.注意數(shù)與形的結合是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點P(-
1
2
,
9
8
),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點的坐標,寫出一條正確的結論,并通過計算說明;
(3)設A,B兩點的橫坐標分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點,試問當x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點A、B,點A的坐標為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標;
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與線段AC交于點F,點D的坐標為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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