Question

如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=-

3

4

x+3與坐標軸分別交于A、B兩點，直線x=1交AB于點D，交x軸于點E，P是直線x=1上一動點．
（1）直接寫出A、B的坐標；A

 

，B

 

；
（2）是否存在點P，使得△AOP的周長最��？若存在，請求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在點P使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值相應的關系，由自變量的值，可得相應的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)值，可得相應自變量的值；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質，可得PO=PM，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AP+PO=AP+PM=AM，再根據(jù)三角形的周長，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可得兩邊分別相等，分類討論：①AP=BP，②當AP=AB=5，③當BP=AB=5，根據(jù)兩點間的距離，可得關于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）當x=0時，y=3．即A 點坐標是（0，3），
當y=0時，-

3

4

x+3=0，解得x=4，即B點坐標是（4，0）；
（2）存在這樣的P，使得△AOP周長最小
作點O關于直線x=1的對稱點M，
M點坐標（2，0）連接AM交直線x=1于點P，
由勾股定理，得AM=

OA2+OM2

=

32+22

=

13

由對稱性可知OP=MP，C_△AOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+

22+32

=

13

+3；
（3）設P點坐標為（1，a），
①當AP=BP時，兩邊平方得，AP²=BP²，1²+（a-3）²=（1-4）²+a²．
化簡，得6a=1．
解得a=

1

6

．即P₁（1，

1

6

）；
②當AP=AB=5時，兩邊平方得，AP²=AB²，1²+（a-3）²=5²．
化簡，得a²-6a-15=0．
解得a=3±2

6

，即P₂（1，3+2

6

），P₃（1，3-2

6

）；
③當BP=AB=5時，兩邊平方得，BP²=AB²，即（1-4）²+a²=5²．
化簡，得a²=16．
解得a=±4，即P₄（1，4），P₅（1，-4）．
綜上所述：P₁（1，

1

6

）；P₂（1，3+2

6

），P₃（1，3-2

6

）；P₄（1，4），P₅（1，-4）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，（1）利用了自變量與函數(shù)值的相應關系，可得點的坐標，（2）利用了線段垂直平分線的性質，線段的性質，（3）利用了等腰三角形的定義，解方程，分類討論是解題關鍵．